Cox比例ハザード回帰モデルとは？最もわかりやすい説明

Cox比例ハザード回帰モデルは生存分析の手法の一つですが、よく耳にする割にはどんなものかぴんとこないので、わかりやすそうな説明をまとめておきます。

 

生存分析とは

重い病気の研究において入院なり通院なりで「治療中」や「完治による治療終了」（生存）の人もいれば、残念ながら「死亡に伴う治療終了」（死亡）もあります。このような「今も結果を追えるケース」と「途中離脱で結果が追えなくなってしまったケース」が混在していることに対応した分析が生存分析となります。（COX回帰比例ハザード　IBM Support）

 

  1.  ―基礎科学から医学・医療を見る― 生存時間データ解析と比例ハザードモデル 中澤 秀夫 日本医科大学基礎科学数学　日医大医会誌 2015; 11（1）　丁寧な解説
  2. 質問8　Cox比例ハザードモデルとは？（その1）　わかる統計教室 第4回 ギモンを解決！一問一答 質問8（その1）
  3. 中村 剛 『Cox比例ハザードモデル (医学統計学シリーズ) 』朝倉書店　2001年

 

Cox比例ハザード回帰モデルによる危険因子の同定

Cox比例ハザード回帰モデルは、様々な予後因子から生死といった二値のアウトカムへの回帰分析になります。Cox比例ハザード回帰モデルで、何がわかるかの例としては、

特定の手術を受けた患者 26 人に対し， 手術直後に実施したある検査の数値，性別，最終状況 （合併症の有無），追跡期間（日）を調べたものである． 検査数値と性別は，それぞれ合併症の危険因子である と言えるか？https://www.jstage.jst.go.jp/article/manms/11/1/11_29/_pdf

などがわかりやすいと思います。

 

Cox比例ハザード回帰モデルとは何かのざっくりとした説明

コックス回帰は、母集団の生存時間に影響を及ぼす可能性のある危険因子、すなわち、共変量 (covariates) を評価する生存分析の一部です。（コックス回帰　hulinks.co.jp）

  1.  コックス比例ハザードモデル　Cox proportional hazard model　http://jspt.japanpt.or.jp/

 

 

Cox比例ハザードモデルの数式

  1. Cox比例ハザードモデル Cox proportional hazard model　bellcurve.jp
  2. 多変量解析：重回帰・ロジスティッ ク回帰・比例ハザードモデル 医学統計セミナー2017 第2回目 下川敏雄 医療データサイエンス学 (附属病院臨床研究センター)

 

 

Cox比例ハザードモデルとカプラン・マイヤー法との違い

単変量解析のカプラン・マイヤー（Kaplan-Meier）法が生存時間を解析するための要因として1変数しか利用できないのに対して、Cox回帰分析は複数の要因を評価することができる多変量解析の手法になります。（スタッツギルド）

 

Cox比例ハザード回帰モデルを説明した動画

京都大学大学院医学研究科 聴講コース 臨床研究者のための生物統計学「生存時間解析の基礎」 2018/03/30 Kyoto-U OCW

 

ハザード関数とは

  1. 医学統計勉強会 東北大学病院循環器内科・東北大学臨床研究推進センター 共催 東北大学大学院医学系研究科EBM開発学寄附講座 宮田 敏　2013/10/17 第4回

 

ハザード比とは

曝露があるときのハザード関数（h(t, X=1) = h0(t)×eβ）と曝露がないときのハザー
ド関数（h(t, X=0) = h0(t)×e0）の比である「ハザード比（hazard ratio; HR）」を求め，曝露の生存期間に与える影響を推定するのである。（臨床医のための疫学シリーズ：地域中核病院で行う臨床研究　第５回 臨床研究における統計学の役割（疫学各論 4）小松　裕和　鈴木　越治　　土居　弘幸）

 

Cox比例ハザード回帰モデルがセミパラメトリックと言われる理由

このモデルが、共変量に関してはパラメトリックだが、時間に関してはノンパラメトリック（時間には依存しない）ため、このモデルはセミパラメトリックであると言われます。

コックス (Cox) 回帰モデルでは, 説明変数 X1i , . . . , Xpi を用いてハザード率関数が h(t) = h0(t) exp(β1X1i + . . . + βpXpi) であると仮定します. h0(t) は基準ハザード率関数で特に関数形は仮定しないので, セミパラメトリッ クモデルとも呼ばれます （コックス回帰モデル　omori.e.u-tokyo.ac.jp）

  1. Statistical Methods in Medical Research 4th edition by P.Armitage, G.Berry, and J.N.S.Matthews. Blackwell Science. (See page 585)

 

Cox比例ハザード回帰モデルの詳しい説明

  1. 生存時間分析の基礎４（Cox 比例ハザードモデル）Maxwell 2020/10/18 21:16　「エモリー大学クラインバウム教授の生存時間解析（サイエンティスト社）」にもとづいたもの

 

数式を用いたCox比例ハザード回帰モデルのわかりやすい説明

数式を用いていながら非常に簡潔にわかりやすい説明が、基礎医学統計学（加納・高橋　南江堂）にありました。

ベースライン生存確率関数　S0(t) と生存確率関数SX(t)　との比較を考えます。X=(X1, X2, …,Xs) 　ここで、生存確率関数SX(t)がS0(t)のべき乗（c乗、ただしｃは時間によらない定数）の形に書けるという仮定を置きます。式で書くと、SX(t) = S0(t)^c

ここでこの定数cを、c = exp(b0+b1X1+… +bsXs) と置きます。こうしてパラメーターb0, b1, …, bsを最尤法で決めてあげようというわけです。

Cox比例ハザード回帰モデルは文字通り、モデルなわけですから、どんな数学的なモデルを考えたのかという説明になっていました。そのモデルにした妥当性に関してはまた別問題で、そこまで詳しい説明はこの本にはありません。

Cox比例ハザード回帰モデルを解説した書籍

その名もずばり『Cox比例ハザードモデル 』(医学統計学シリーズ 3)と言う本がありますが、かなり専門的で、数学的な説明がないと気が済まない人向けだと思います。自分は図書館で借りて、読もうとして挫折。しかし定評のある生存分析の本が何冊もあるので、自分の数学力、必要性に合わせたものを選べばよいのではないでしょうか。

　　　　

Cox比例ハザード回帰モデルを用いた研究論文の例

  1. 帝王切開で児の発達障害は増加する？ 2021年03月22日 16:45　Medical Tribune　JAMA Netw Open（2021; 4: e210837

 

Cox比例ハザード回帰モデルの原著論文

Cox比例ハザード回帰モデルは、その名前通りCoxさんが提唱したモデルで、1972年に論文発表されています。

  1. Cox D.R. (1972) Regression models and life-tables (with discussion). J.R.Stat. Soc. B 34, 187-220. (J-STORE)

 

参考

  1. 比例ハザードモデルはとってもtricky！takehikoihayashi　Published on Apr 9, 2013　スライドシェア
  2. 比例ハザードのあてはめ　JMP
  3. コックス比例ハザード モデル　Mathworks
  4. Professor Sir David Cox archive.org