CNN(convolutional neural network）のlayer, featuremaps (kernels)の処理の関係 | 医科学 Biomedical Sciences に関する情報のまとめサイト

CNN(convolutional neural network）の教科書を読んでいて、カーネルを複数用意してそれぞれのカーネルを入力画像に適用するので、特徴マップがカーネルの数だけ生じるというのはいいとして、次のレイヤーにまた複数のカーネルがあるわけですが、とするとレイヤーごとに、カーネル数ｘカーネル数ｘカーネル数ｘ… とどんどん処理が増えていってしまわないの？という疑問が湧きました。自分が読んでいる教科書にはそのあたりのことがどうも端折られているみたいで、よくわからずChatGPT4oに訊いてみました。

あなた: convolutional neural networkの教科書を読んでいて湧いた疑問なんだけど、ひとつのCNNレイヤーにfeature mapsが複数あって、それぞれはカーネルに対応しているんだけど、すると、そのconvolution layer にはカーネルの数だけの画像があるということ？次のレイヤー（プーリングはとりあえず無視して）でまたカーネルが複数あるとしたら、処理としては、カーネル数ｘカーネル数ｘという感じで増えていくの？教科書読んでも、そうは書いていなかったんだけど。

1. CNNレイヤー内のカーネルと特徴マップの関係

カーネル（フィルタ）:
- 各カーネルは画像の特定の特徴（エッジ、コーナーなど）を抽出するための行列です。
- 例えば、1つのレイヤーに5つのカーネルがある場合、出力は5つの特徴マップ（feature maps）になります。
特徴マップ（Feature Map）:
- 各カーネルは、入力画像または前のレイヤーの出力（特徴マップ）に対して畳み込み演算を行い、それぞれ1つの特徴マップを生成します。
- レイヤー全体では、カーネルの数と同じ数の特徴マップが出力されます。

2. 次のレイヤーでの計算（複数カーネルの場合）

次のレイヤーでさらに複数のカーネルがある場合、以下の計算が行われます：

前提条件

前のレイヤーの出力（特徴マップ）が $N$ 枚。
次のレイヤーに $M$ 個のカーネルがある場合。

畳み込みの処理

各カーネルは、すべての入力特徴マップを 一度に 処理します。
- つまり、1つのカーネルは $N$ 枚の特徴マップに対して個別に畳み込み演算を行います。
- 畳み込み結果を足し合わせて、1つの出力特徴マップを生成します。
$M$ 個のカーネルを適用することで、最終的に $M$ 枚の出力特徴マップが生成されます。

3. カーネル数が増えても処理が爆発しない理由

ご質問では「カーネル数が次々に掛け合わさる（増え続ける）のでは？」という疑問がありましたが、実際にはそうなりません。以下の仕組みで処理が抑えられます：

各カーネルは前のレイヤー全体を一度に処理する:
- $N$ 枚の入力特徴マップを持つ場合、各カーネルはすべての特徴マップを同時に畳み込みます。
- これにより、計算量は「入力特徴マップ数 × カーネル数」に比例しますが、次のレイヤーで出力される特徴マップの数はカーネル数と一致します。
次のレイヤーのカーネル数が独立:
- $M$ 個のカーネルを持つ次のレイヤーでは、再び $M$ 枚の特徴マップが生成されるだけです。
- $N \times M$ のように増加し続けるわけではありません。

4. 例: 具体的な計算

設定

入力画像: $32 \times 32 \times 3$ （RGB画像）。
レイヤー1: $5$ 個のカーネル ( $3 \times 3$ )。
レイヤー2: $10$ 個のカーネル ( $3 \times 3$ )。

処理

レイヤー1:
- 入力画像（3チャンネル）に対して、5つのカーネルを適用。
- 各カーネルは、すべての入力チャンネル（3つ）を処理。
- 出力: $32 \times 32 \times 5$ の特徴マップ。
レイヤー2:
- レイヤー1の出力（5枚の特徴マップ）に対して、10個のカーネルを適用。
- 各カーネルは、すべての入力チャンネル（5つ）を処理し、1枚の特徴マップを生成。
- 出力: $32 \times 32 \times 10$ 。

5. 教科書で「掛け合わさる」と書いていない理由

教科書が「カーネル数 × カーネル数」のように説明しないのは、実際の処理が「前のレイヤーの全体の出力を1つのカーネルが処理する」仕組みだからです。これにより、出力の次元が爆発的に増加することはありません。

結論

CNNの各レイヤーでは、カーネル数だけの特徴マップが生成される。
次のレイヤーでは、すべての入力特徴マップに対して畳み込みが行われるが、カーネル数に応じた枚数の特徴マップが生成される。
処理の流れとしては「カーネル数 × 入力特徴マップ」であり、「カーネル数 × カーネル数」ではありません。

この仕組みで計算量が抑えられています。さらに具体例が必要であれば、ぜひ教えてください！ 😊

1. 特徴マップへのカーネルの適用プロセス

レイヤー1の出力（特徴マップ）が5枚あり、次のレイヤーのカーネルが10個ある場合：
1. 各カーネルは、5枚すべての特徴マップに対して「個別に」畳み込みを行います。
2. 各畳み込み結果を「ピクセルごとに足し合わせる」ことで1つの出力特徴マップを作成します。
3. この処理を10個のカーネルに対して繰り返し、最終的に10枚の出力特徴マップが得られます。

2. 具体例で説明

設定

レイヤー1の出力: $5$ 枚の特徴マップ。
レイヤー2のカーネル: $10$ 個。
特徴マップのサイズ: $32 \times 32$ （例として固定）。

プロセス

1つのカーネルの処理:
- レイヤー1の5枚の特徴マップに対して、それぞれ畳み込みを行う。
- 畳み込み結果のサイズは $32 \times 32$ （境界処理やストライドによって変わる場合もあり）。
結果を統合:
- 5つの畳み込み結果（それぞれ $32 \times 32$ ）を「ピクセルごとに足し合わせる」。
- 足し算の結果として $32 \times 32$ の1枚の特徴マップが生成される。
次のカーネルに繰り返し適用:
- このプロセスを10個のカーネルそれぞれで実施。
- 最終的に10枚の特徴マップ（ $32 \times 32 \times 10$ ）が出力される。

3. 特徴マップの「合わせ方」

特徴マップの「合わせ方」は、ピクセルごとの足し算（加算演算） です。

加算の理由

各カーネルは、入力特徴マップ全体から新しい特徴を抽出するために設計されています。
各カーネルが複数の特徴マップから得られた情報を統合する際、ピクセルごとに加算することで、次のレイヤーに渡す「抽象化された特徴」を構成します。

4. 数式で表現

もしレイヤー1に5枚の特徴マップ（ $f_{1}, f_{2}, \dots, f_{5}$ ）があり、1つのカーネル（ $k$ ）がこれらを処理する場合、出力特徴マップ $g$ は以下のように計算されます：

g (x, y) = \sum_{i = 1}^{5} (f_{i} * k_{i}) (x, y) + b

$f_{i}$ : 入力特徴マップ（レイヤー1の出力）。
$k_{i}$ : カーネル（対応する重み行列）。
$(f_{i} * k_{i}) (x, y)$ : 畳み込み結果。
$b$ : バイアス項（通常各出力特徴マップに1つ対応）。
$g (x, y)$ : 出力特徴マップのピクセル値。

この計算が、全てのカーネルについて独立に行われます。

5. なぜ特徴マップを足し合わせるのか？

足し合わせることで、各カーネルが捉えた複数の特徴を統合し、次のレイヤーでさらに高度な特徴を学習する準備をします。
CNNでは、入力画像を段階的に抽象化していくため、この加算処理が重要です。

6. プーリングを無視した場合のまとめ

特徴マップは「1つにまとめてからカーネルを適用する」のではなく、「それぞれの特徴マップにカーネルを適用した後に統合」されます。
統合方法は「ピクセルごとの加算」です。

もしさらに詳細な計算例や視覚化が必要であればお知らせください！😊

以上がChatGPT4oの回答です。やはり「会話」だと詳しく説明してもらえますね、書籍だと紙面に限りがあるので、こんなふうにくどくどと（＝わかりやすく）説明してもらえません。こちらが納得できるだけの「くどさ」で説明が聞けるのは、非常に大きなメリットだと思います。その長々とした説明を書けるブログにもまた大きなメリットがあります。

チャットＧＰＴはハルシネーション（とんでもない大うそをつくこと）の懸念もありますが、こういうさんざん議論されつくされているトピックであればハルシネーションが起きる可能性は少ないんじゃないかと思います。