以下、Perplexityに聞いて得られた回答です。
シュレーディンガー方程式の座標変換：直交座標系から極座標系へ
直交座標系でのシュレーディンガー方程式
時間に依存しない3次元シュレーディンガー方程式を直交座標系で表すと：
\begin{equation}
-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\psi + V(r)\psi = E\psi
\end{equation}
ここで、$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$はラプラシアン演算子です。
座標変換
直交座標と極座標の関係は以下の通りです：
\begin{align}
x &= r \sin\theta \cos\phi \\
y &= r \sin\theta \sin\phi \\
z &= r \cos\theta
\end{align}
偏微分の変換
座標変換に伴い、偏微分も変換する必要があります。連鎖律を用いて：
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \phi}
\end{equation}
同様に、$y$と$z$についても行います。
各項の計算
上記の関係から、以下の式が得られます：
\begin{align}
\frac{\partial r}{\partial x} &= \sin\theta \cos\phi, & \frac{\partial r}{\partial y} &= \sin\theta \sin\phi, & \frac{\partial r}{\partial z} &= \cos\theta \\
\frac{\partial \theta}{\partial x} &= \frac{\cos\theta \cos\phi}{r}, & \frac{\partial \theta}{\partial y} &= \frac{\cos\theta \sin\phi}{r}, & \frac{\partial \theta}{\partial z} &= -\frac{\sin\theta}{r} \\
\frac{\partial \phi}{\partial x} &= -\frac{\sin\phi}{r\sin\theta}, & \frac{\partial \phi}{\partial y} &= \frac{\cos\phi}{r\sin\theta}, & \frac{\partial \phi}{\partial z} &= 0
\end{align}
ラプラシアンの変換
これらの関係を用いて、ラプラシアン演算子を極座標で表現します：
\begin{equation}
\nabla^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}
\end{equation}
最終形
最終的に、極座標系でのシュレーディンガー方程式は以下のようになります：
\begin{equation}
-\frac{\hbar^2}{2m}\left[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right]\psi + V(r)\psi = E\psi
\end{equation}
この変換過程には、微分の連鎖律の適用や、複雑な代数計算が含まれます。各ステップを丁寧に追うことで、全体の導出を理解することができます。