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多変量解析を理解するための線形代数の教科書

多変量解析入門

足立 堅一『多変量解析入門 線形代数から多変量解析へ』 篠原出版新社 December 20, 2005

書名は多変量解析入門ですが、中身は多変量解析で使われる線形代数の解説だそうです。多変量解析の基盤となっている数学的な原理に関する解説書としては、もっともわかりやすく(数学が苦手な人にもわかるように)書かれているみたいです。

射影行列・一般逆行列・特異値分解

柳井・竹内『射影行列・一般逆行列・特異値分解』 新装版 2018

第6章応用 のところでようやく多変量解析などの話題が出てきます。第5章まではひたすら数学的な準備といったところでしょうか。自分は図書館で借りてみましたが、自分の数学的能力では読み進めるのが辛すぎて挫折しました。数学の本に手を出す場合には、身の丈にあった本にすべきだと痛感。

多変量解析の基礎

柳井・竹内『多変量解析の基礎』1972

多変量解析に関する入門書 お勧め、定番、超初心者向けなど

医学研究を進めるうえで医療統計学の知識、特に多変量解析の知識が欠かせません。SPSSなどのソフトにただデータを入れれば、何かしらの結果は出ますが、それだと結果の解釈の段階で途方にくれてしまいます。やはり多変量解析の原理的な部分を抑えておく必要があるでしょう。どれだけ数学的なバックグラウンドがあるか、数学的な原理から理解したいという動機があるかによって、お勧めの教科書は変わってきます。

一口に多変量解析の教科書といっても、対象とする読者は数学的な原理はともかく使えればいい人、定理の厳密な証明はいいけど数学的な基礎はある程度理解しておきたい人、仕事ですぐに使いたい人、統計学を勉強中の理系大学生・大学院生、勉強する時間があまり取れない実務に携わる多忙な社会人など様々なので、自分が想定された読者なのかどうかを判断する必要があります。

線形代数がメインの書籍はまた別記事にします。

→ 多変量解析を理解するための線形代数の教科書

Rによる多変量解析入門

川端 一光, 岩間 徳兼, 鈴木 雅之『Rによる多変量解析入門 データ分析の実践と理論』オーム社  July 19, 2018

手元にデータがあってすぐに分析をしたい人にピッタリの本。理論的な説明はないかわりに、結果の解釈の際の注意事項の説明が詳細。説明の順番は、データの解析、結果、解釈や数学的な理屈の順になっています。Rそのものに関しては紙面をあまり割いていないので、pythonで勉強したい人にとっても紙面が無駄になっておらず、ためになります。数学的な理屈に関してはおいおい勉強するとして、とりあえず仕事ですぐに多変量解析をやらなきゃいけない人にとってはベストの教科書ではないでしょうか。

出版社の書籍紹介によれば、

多くの多変量解析についての学習書は、理論的な説明に終始し、実務場面でどのように利用されているかについて、殆ど配慮がないのが現状です。そこで本書は、多変量解析手法の理論と実践をバランスよく解説することで、統計が得意ではない大学生や実務者にも利用しやすい構成とし、本書1冊で多変量解析手法を実務に応用できるまで習得できる内容となっています。

とのことですが、看板に偽りなしです。目次は、以下の通り。

第Ⅰ部 多変量解析の基礎
第1章 多変量解析の基礎を学びたい―R による多変量データの基本的な統計処理
第2章 R によるデータハンドリングを学びたい ―アンケートデータと ID-POS データのハンドリング
第Ⅱ部 量的変数の説明・予測
第3章 現象を説明・予測する統計モデルを作りたい (1) ―重回帰分析
第4章 現象を説明・予測する統計モデルを作りたい (2) ―階層的重回帰分析
第5章 さまざまな集団から得られたデータを分析したい―マルチレベルモデル
第6章 複雑な仮説を統計モデルとして表したい (1)―パス解析
第Ⅲ部 心理尺度の分析
第7章 心理尺度を開発したい (1) ―探索的因子分析
第8章 心理尺度を開発したい (2) ―確認的因子分析
第9章 複雑な仮説を統計モデルとして表したい (2) ―潜在変数を伴うパス解析
第Ⅳ部 質的変数の説明・予測
第10章 クロス集計表をもっとていねいに分析したい―対数線形モデル
第11章 カテゴリに所属する確率を説明・予測したい―ロジスティック回帰分析
第Ⅴ部 個体と変数の分類
第12章 似たもの同士にグループ分けしたい―クラスター分析
第13章 質的変数間の連関を視覚化したい―コレスポンデンス分析
第Ⅵ部 多変量解析を使いこなす
第14章 データが持つ情報を視覚化したい―パッケージggplot2による描画
第15章 多変量解析を実践で生かしたい―手法の組み合わせ

 

多変量解析入門

小西 貞則『多変量解析入門――線形から非線形へ』January 27, 2010 岩波書店

目次

  1. 1 はじめに 1.1 現象のモデル化 1.2 識別・判別 1.3 次元圧縮 1.4 分類
  2. 2 線形回帰モデル 2.1 2変数間の関係を捉える 2.2 多変数間の関係を捉える
  3. 3 非線形回帰モデル 3.1 現象のモデル化 3.2 基底関数に基づくモデル 3.3 基底展開法 3.4 正則化法
  4. 4 ロジスティック回帰モデル 4.1 リスク予測モデル 4.2 複合リスク予測モデル 4.3 非線形ロジスティック回帰モデル
  5. 5 モデル評価基準 5.1 予測誤差に基づく評価基準 5.2 情報量基準 5.3 ベイズ型モデル評価基準
  6. 6 判別分析 6.1 フィッシャーの線形判別 6.2 マハラノビス距離に基づく判別法 6.3 多群判別 6.4 変数選択 6.5 正準判別
  7. 7 ベイズ判別 7.1 ベイズの定理 7.2 ベイズ判別法 7.3 ロジスティック判別
  8. 8 サポートベクターマシーン 8.1 分離超平面の構成 8.2 線形分離可能でない場合のテクニック 8.3 線形から非線形へ
  9. 9 主成分分析 9.1 主成分の構成 9.2 カーネル主成分分析
  10. 10 クラスター分析 10.1 階層的分類法 10.2 非階層的分類法 10.3 混合分布モデル
  11. 付録A ブートストラップ法 付録B ラグランジュの未定乗数法 付録C EMアルゴリズム

著者の略歴は、広島大学理学部数学科卒、文部省統計数理研究所を経て九州大学大学院数理学研究院教授。専門は,非線形多変量解析,情報量統計学(岩波書店)。

アマゾンのレビューを読むと、データから数理モデルを組み立てるというアプローチとして多変量解析が解説されている、モデルを線形から非線形に拡張するように丁寧な議論となっていて、特にSVMの解説は分かりやすい、数式は多いが、出てくる数式や式展開は、パターン化していてしかも数学的な説明が丁寧なので、読みやすく大変理解しやすいとのこと。

 

多変量解析法入門

永田 靖, 棟近 雅彦『多変量解析法入門』 (ライブラリ新数学大系) サイエンス社 April 1, 2001

アマゾンのレビューを読む限り、数学が苦手な人でも追えるような丁寧さで、数式によって説明を進めているそう。目次は、

  1. 1 多変量解析法とは 1.1 多変量データ 1.2 重回帰分析とは 1.3 数量化1類とは 1.4 判別分析とは 1.5 数量化2類とは 1.6 主成分分析とは 1.7 数量化3類とは 1.8 多次元尺度構成法とは 1.9 クラスター分析とは
  2. 2 統計的方法の基礎知識 2.1 データのまとめ方 2.2 確率分布 2.3 検定と推定 練習問題
  3. 3 線形代数のまとめ 3.1 行列とベクトル 3.2 固有値と固有ベクトル 3.3 ベクトルによる微分 3.4 変数ベクトルによる期待値と分散・共分散 練習問題
  4. 4 単回帰分析 4.1 適用例と解析ストーリー 4.2 解析方法 4.3 行列とベクトルによる表現 練習問題
  5. 5 重回帰分析 5.1 適用例と解析ストーリー 5.2 説明変数が2個の場合の解析方法 5.3 説明変数がp個の場合の解析方法 5.4 行列とベクトルによる表現 練習問題
  6. 6 数量化1類 6.1 適用例と解析ストーリー 6.2 説明変数が1個の場合の解析方法 6.3 説明変数が2個以上の場合の解析方法 6.4 説明変数に量的変数と質的変数が混在する場合 練習問題
  7. 7 判別分析 7.1 適用例と解析ストーリー 7.2 変数が1個の場合の解析方法 7.3 変数が2個以上の場合の解析方法 7.4 行列とベクトルによる表現 練習問題
  8. 8 数量化2類 8.1 適用例と解析ストーリー 8.2 説明変数が1個の場合の解析方法 8.3 説明変数が2個以上の場合の解析方法 8.4 説明変数に量的変数と質的変数が混在する場合
  9. 9 主成分分析 9.1 適用例と解析ストーリー 9.2 説明変数が2個の場合の解析方法 9.3 説明変数がp個の場合の解析方法 9.4 行列とベクトルによる表現
  10. 10 数量化3類 10.1 適用例と解析ストーリー 10.2 数量化3類の基本的な考え方と解析方法 練習問題
  11. 11 多次元尺度構成法 11.1 適用例と解析ストーリー 11.2 非計量MDSの解析方法 11.3 計量MDSの考え方 練習問題
  12. 12 クラスター分析 12.1 適用例と解析ストーリー 12.2 変数が2個の場合のクラスター分析 12.3 変数がp個の場合のクラスター分析 12.4 クラスター間の距離 12.5 ウォード法 練習問題
  13. 13 その他の方法 13.1 パス解析 13.2 グラフィカルモデリング 13.3 因子分析 13.4 正準相関分析 13.5 多段層別分析 練習問題

 

多変量データ解析

杉山 高一 (著), 小椋 透 (著), 藤越 康祝『多変量データ解析』 (シリーズ“多変量データの統計科学”)  朝倉書店  November 25, 2014

出版社の説明によれば、

シグマ記号さえ使わずに平易に多変量解析を解説する」という方針で書かれた’83年刊のロングセラー入門書に,因子分析正準相関分析の2章および数理的補足を加えて全面的に改訂。主成分分析,判別分析,重回帰分析を含め基礎を確立。

とのこと。数学恐怖症の人向けのようです。

もくじ

  1. 1 相関係数 1.1 成績データの相関係数 1.2 手のデータの相関係数 1.3 相関係数の安定性 1.4 分散と共分散 1.5 数理的補足–相関係数
  2. 2 主成分分析 2.1 主成分分析とは 2.2 共分散行列による主成分分析–手のデータ 2.3 相関行列による主成分分析(1) –成績のデータ 2.4 相関行列による主成分分析(2)–被服のデータ 2.5 因子負荷量–漢字テストの分析 2.6 歯の咬耗度に基づく主成分分析 2.7 主成分スコア低次元空間表現 2.8 主成分軸の回転 2.9 固有値の信頼区間 2.10 固有ベクトルの信頼性 2.11 数理的補足–主成分分析
  3. 3 判別分析 3.1 判別分析とは 3.2 マハラノビスの距離 3.3 判別分析の考え方 3.4 2変量の判別分析 3.5 線形判別関数 3.6 多変量の判別分析–筆跡鑑定のデータ 3.7 変数選択による判別分析–逐次法(1) 3.8 変数選択による判別分析–逐次法(2) 3.9 変数選択による判別分析–AIC 規準・誤判別確率 3.10 線形判別分析の頑健性 3.11 逐次法における規準値とAIC 規準 3.12 数理的補足–判別分析
  4. 4 重回帰分析 4.1 重回帰式とは 4.2 1変数の場合の回帰式 4.3 2変数の回帰分析 4.4 残差分散, 重相関係数 4.5 回帰係数の信頼区間 4.6 多重共線性 4.7 説明変数の選択–逐次法 4.8 説明変数の選択–AIC とCp 4.9 逐次法における規準値とAIC 規準 4.10 主成分回帰 4.11 偏相関係数 4.12 数理的補足–重回帰分析
  5. 5 因子分析 5.1 因子分析とは 5.2 因子分析モデルと回転 5.3 推測法 5.4 白人の手のデータ 5.5 数理的補足–因子分析
  6. 6 正準相関分析 6.1 正準相関とは 6.2 正準相関–成績のデータ 6.3 寄与率と次元 6.4 正準相関分析–歯の咬耗度データ 6.5 正準相関の安定性 6.6 数理的補足–正準相関
  7. A 行列・固有値 A.1 行列 A.2 多変量データと基礎統計量の行列表示 A.3 行列式と逆行列 A.4 固有値・固有ベクトル
  8. B 多変量分布 B.1 身長の分布と正規分布 B.2 2次元正規分布 B.3 数理的補足–多変量正規分布

 

数量化1類、ダミー変数を用いた重回帰分析の実際

男か女かといった質的変数は、重回帰分析の独立変数に用いるときには、ダミー変数として取り扱います。性別という「アイテム」において、「男」というカテゴリー変数は1か0の値を通り、男なら1、男でなければ0とします。同様に、「女」というカテゴリー変数は1か0の値をとり女なら1、女でなければ0になります。ある人に関して、性別のアイテムの行は、カテゴリー変数男とカテゴリー変数女の和は1になるわけです。カテゴリー変数が複数の場合も、同様に和は1になります。例えば「曜日」という「アイテム」で、カテゴリー変数「月曜日」は1か0、「火曜日」も1か0という具合です。あるデータに関しては、いずれかの曜日なのでどれかの曜日が1で他の曜日が0とい値になっており、和は1です。こうして作ったダミー変数を重回帰分析の独立変数として用いればよいわけです。ただし、独立変数は独立であってほしいわけですが、こうやってつくったダミー変数は明らかに「カテゴリー変数の数―1」個のカテゴリーが決まれば、残りの一個は決まってしまいます(和が1になるようにつくったので)ので、ひとつのカテゴリー変数は除去しておく必要があります。

ダミー変数の作り方と作る際の注意

あるアイテム変数の持つ情報をダミー変数で表現するとき、アイテム変数がk個のカテゴリーを持つ場合には、0か1かのいずれかを持つ二値データk個のダミー変数に展開される。例えば、あるアイテム変数がiという値を持つ場合、i番目のダミー変数は値1を持ち、残りのダミー変数は値0を持つ。表1に示したデータ中の3つのアイテム変数のデータは、表2のように、延べ9個のダミー変数(D11,…,D33)に展開されるしかし、このダミー変数は冗長な情報を持つ。例えば、k−1個のダミー変数が0であるとき、残りの1個のダミー変数は必ず1である。そこで、多変量解析においては、各アイテム変数に対応する複数のダミー変数のうちの1つを除いて解析に使用する。どのダミー変数を除いてもよい(数量化 I 類はダミー変数を用いた重回帰分析である 青木繁伸 2005 年 10 月 17 日)

下のB表はカテゴリーデータを1,0の数量データに変換したものです。‥ このデータは、曜日の7列のデータを合計すると、どの日も1となります。(天候、巨人勝敗、競馬についても同様です。)そこで、4項目からそれぞれ任意の1列を削除します。この例では、曜日は土、天候は雨、巨人勝敗は無、競馬は無の最後の列を削除しました。(《数量化1類(2/3) 》 カテゴリースコアの求め方 アイスタット)

ダミー変数は「1か0(ゼロ)」の2つの値しかとりません。「1」は「○○である」、「0」は「○○でない」ということを表します。「○○」を「合格」とすれば「1=合格/0=不合格」、「不合格」とすれば「1=不合格/0=合格」ということになります。(ロジスティック回帰分析(4)─ダミー変数 統計WEB)

カテゴリーが k種類あれば,k-1個のダミー変数を用意する。上の例でダミー変数を一個だけ用意して,鉄骨=0,軽量鉄骨=1,木造=2のようにしてはいけない。(アパートの家賃(2) ダミー変数を用いた重回帰分析 cuc.ac.jp)

データ: 従属変数と独立変数は量的でなければなりません。宗教、専攻、居住地区などのカテゴリー変数は、2 値 (ダミー) 変数またはその他の種類の対比変数として再割り当てする必要があります。(IBM SPSS Statistics Base 26

3カテゴリーの時に、ダミー変数を3つ作らないように注意。(分析実習資料 2021/06/ SPSSによる重回帰分析 村瀬 洋一)

https://geolog.mydns.jp/www.geocities.jp//databooster2/mydoc/sreg-qt1.pdf

SPSSを用いた解析

具体的な例が説明されている本としては、内田治著『SPSSによる回帰分析』(オーム社 平成25年8月23日第1版)があります。第4章 質的変数とダミー変数 としてかなりのページ数を割いて実際に適用した例が示されています。

『SPSSによる回帰分析』目次

  1. 第1章 回帰分析入門 1.1 回帰分析の概要 回帰分析とは 回帰分析の用語 回帰分析の用途 1.2 回帰分析におけるデータ データの種類 測定の尺度 変数の種類
  2. 第2章 単回帰分析 2.1 単回帰分析の基本 例題1 回帰式 回帰式の有意性 回帰式の有効性 母回帰係数の信頼区間 2.2 残差の検討 個々の残差 残差のヒストグラム 標準化残差の正規確率プロット 2.3 区間推定 母回帰式の信頼区間 個々のデータの予測区間 2.4 SPSS の手順 単回帰分析 散布図
  3. 第3章 重回帰分析 3.1 重回帰分析における予備的解析 例題2 3.1.1 1変数の解析 要約統計量 データのグラフ化 3.1.2 2変数の解析 相関行列 散布図行列 3.1.3 説明変数ごとの単回帰分析 x1による単回帰分析 x2による単回帰分析 x3による単回帰分析 x4による単回帰分析 単回帰分析のまとめ 3.2 重回帰分析の実際 3.2.1 重回帰分析の基本 回帰式 回帰式の有意性 回帰式の有効性 回帰係数の有意性 標準偏回帰係数 3.2.2 残差の検討 個々の残差 残差のヒストグラム 3.2.3 回帰診断 てこ比 Cook の距離 DfBeta 3.2.4 相互検証法とリサンプリング法(1)予測精度の検証 Hold out 法 K-fold 法 Leave-One-Out 法(2)回帰係数の検証 Jackknife 法 Bootstrap 法 3.3 SPSS の手順 要約統計量 ヒストグラム・箱ひげ図・幹葉図 ドットプロット 相関行列 散布図行列 3次元散布図 単回帰分析 重回帰分析 回帰診断 Bootstrap法
  4. 第4章 質的変数とダミー変数 4.1 質的変数を含んだ回帰分析 例題3 データのグラフ化 4.1.1 質的変数とダミー変数 4.1.2 ダミー変数の使い方 数値例1 数値例2 数値例3 4.1.3 カテゴリの数が3 つ以上のダミー変数 4.1.4 ダミー変数の作成 4.2 数量化理論Ⅰ類と共分散分析 4.2.1 数量化理論Ⅰ類 例題4 4.2.2 一般線形モデル 4.2.3 共分散分析 例題5 質的変数を含んだ重回帰分析 データのグラフ化 ダミー変数による重回帰分析の結果 共分散分析の結果 4.3 SPSS手順
  5. 第5章 回帰分析における説明変数の選択 5.1 変数選択の方法 5.1.1 変数選択の必要性 重要な変数と不要な変数 良い回帰式 説明変数の選択方法 変数選択の基準 5.1.2 ステップワイズ法 例題6 変数選択基準の設定 ステップワイズ法の結果 5.1.3 ベストサブセット法 5.2 説明変数の組合せで生じる問題 5.2.1 多重共線性 多重共線性とは 許容度 VIF 例題7 説明変数同士の相関行列 説明変数ごとの単回帰分析 回帰係数の符号逆転 5.2.2 解の一意性 例題8 5.2.3 欠損値の扱い 例題9 リストごとに除外した解析結果 ペアごとに除外した解析結果 平均値で置き換えた解析結果 5.3 SPSS の手順 重回帰分析(ステップワイズ法) ベストサブセット法
  6. 第6章 ロジスティック回帰分析 6.1 ロジスティック回帰の基本 6.1.1 ロジスティック回帰とは 例題10 ロジスティック回帰の概念 データのグラフ化 ロジスティック回帰の結果 6.1.2 完全分離 例題11 6.1.3 SPSS の手順 6.2 ロジスティック回帰の実践 6.2.1 多重ロジスティック回帰 ロジスティック回帰の種類 例題12 ロジスティック回帰の結果 データのグラフ化 ロジスティック回帰の結果 6.2.2 変数選択 変数選択の方法 変数選択の結果 6.3 SPSS の手順 ロジスティック回帰 ロジスティック回帰(尤度比による変数減少法)
  7. 第7章 生存分析とCox 回帰 7.1 生存分析 7.1.1 Kaplan- Meier 法による生存率曲線 例題13 生存分析とは 生存率 生存率曲線 7.1.2 生存率曲線の比較と検定 例題14 2つの生存率の違いに関する検定 ログランク検定の結果 7.2 Cox 回帰 7.2.1 比例ハザードモデル 例題15 比例ハザードモデル Cox回帰の結果 7.2.2 複数の説明変数を含むCox 回帰 例題16 複数の説明変数 7.3 SPSS の手順 Kaplan- Meier 法による生存率曲線の作成 ログランク検定 Cox 回帰 複数の説明変数を含むCox 回帰
  8. 第8章 パス解析と因果分析 8.1 因果関係の解析 8.1.1 説明変数間の因果関係 因果関係の整理 8.1.2 パス解析の概念 パス図 パス解析 8.2 パス解析の実際 8.2.1 回帰分析を用いたパス解析 x1を説明変数、x2を目的変数とする回帰分析 x1を説明変数、x3を目的変数とする回帰分析 x2とx3を説明変数、x4を目的変数とする回帰分析 x4を説明変数、yを目的変数とする回帰分析 8.2.2 共分散構造分析を用いたパス解析 共分散構造分析 AMOS による解析結果

参考

  1. SPSSにおけるカテゴリー変数のとりあつかい 2012年
  2. 04. 重回帰分析 京都大学 加納 学

共分散構造分析とは:講義ノート(チュートリアル)や解説書などの紹介

複数の要因(独立変数)で、「結果」がどのように説明できるかを調べる手法が重回帰分析ですが、重回帰分析においては、個々の独立変数が互いに影響しあっていない(多重共線性が無い)ことが必要です。しかし多くの場合には、互いに影響しあっているため、それを考慮できる方法としてパス解析があります。パス解析では観測できる量だけからなる独立変数、従属変数の関係性を調べますが、さらには、直接には観測できない量(例えば、性格の朗らかさ)も想定した関係性を調べたい場合に、共分散構造分析が使われます。

共分散構造分析という言葉は、構造方程式モデリング(Structural equation modeling; SEM)とほぼ同義に使われているようです。共分散分析(ANCOVA)は共分散構造分析と名前が似ていて紛らわしいですが別物のようです。

  1. 共分散構造分析の基礎と実際—-基礎編—-狩野 裕(大阪大学大学院人間学研究科 2002年11月11日SSJデータ・アーカイブ  第66回公開セミナー: StructuralEquationModeling構造方程式モデル(モデリング)–近年は共分散構造分析よりもメジャーな名称

共分散構造分析とは

共分散構造分析とは、わかりやすく言うと、直接観測できない「潜在変数」を導入し、導入した潜在変数と観測変数との間の因果関係を同定する統計学的手法のことです。

  1. 共分散構造分析の基礎と実際—-基礎編—- SSJデータ・アーカイブ第6回公開セミナー 2002年年11月月11日
  2. 共分散構造分析の基礎と実際—-応用編—- 狩野 裕(大阪大学大学院人間学研究科)
  3. 共分散構造分析 多変量解析の手法別解説 統計分析研究所アイスタット

共分散構造分析と重回帰分析との違い

単回帰分析、重回帰分析、パス解析、共分散構造分析(SEM)の違いは、下のサイトの図がわかりやすい。

  1. 単回帰分析・重回帰分析・共分散構造分析とパス解析 GMORESEARCH

従属変数(結果)が1個、独立変数(要因)が1個でそれらの関係を調べるのが単回帰分析。要因が複数、つまり独立変数が複数あってそれらと従属変数との関係を調べるのが重回帰分析。独立変数同士にも関連性があることを想定した解析手法が、パス解析。測定可能ではない量「潜在変数」まで考えて関連性を調べることができるのが共分散構造分析ということになります。

共分散構造分析におけるパス解析(パス図)とは

  1. パス解析 日経リサーチ
  2. 顧客理解を可能とするパス解析|因果関係を徹底的に探る KOTODORI
  3. 分析2:調在データの分析 人工知能学会誌21巻5号(2006年9月

構造方程式モデリングとは

  1. SEMは心理学に何をもたらしたか? The Annual Report of Educational Psychology in Japan2020, Vol. 59, 292-303 ・時流に乗った,数学的には高度な新しい分析法を使った,脱常識性が感じられない研究,データと大きく乖離した主張をしている研究の量産 ・時流に乗った,数学的には高度な新しい分析法を使った研究が優れた研究であるという思い込み(?)の蔓延 ・データの収集法に関して工夫をして,脱常識性の高い因果関係を提示しようとする姿勢の阻害・相関と因果,測定の妥当性,相関的研究における変動因の問題などの,心理学にとって基本的で非常に重要なことを踏まえない傾向の助長
  2. 製品開発のためのマーケティングリサーチへの構造方程式モデリングの応用
  3. SEMによる因果分析入門–パス解析から傾向スコアまで– 大阪大学 大学院基礎工学研究科 狩野 裕
  4. 産後の抑うつ状態の複雑な予測

共分散構造分析の手順

SPSSによる共分散構造分析

Rによる共分散構造分析

『共分散構造分析 R編』

pythonによる共分散構造分析

エクセルによる共分散構造分析

共分散構造分析の教科書

『共分散構造分析 入門編』

『共分散構造分析 応用編』

『共分散構造分析 疑問編』

SPSSとAmosによる心理・調査データ解析

小塩真司『SPSSとAmosによる心理・調査データ解析 : 因子分析・共分散構造分析まで』第3版  東京図書, 2018.

図解でわかる共分散構造分析

涌井良幸, 涌井貞美『図解でわかる共分散構造分析 : データから「真の原因」を探り出す新しい統計分析ツール』日本実業出版社, 2003.

 

参考

  1. 統計分析法の分類  予測・説明関係を検討する統計的検定法の分類 予測・説明関係を検討する多変量データ解析法の分類
  2. 看護学における多変量解析の利用―国内文献の検討結果から― 飯島 純夫
  3. 高等教育研究のための計量手法の整理 中尾走、樊怡舟 広島大学大学院教育学研究科 広島大学高等教育研究開発センター(RIHE)では,大学教員に対する調査がこれまで何度も行われており,研究生産性というテーマで大学教員の論文数を従属変数にして分析
  4. 構造方程式モデリングは,因子分析,分散分析,パス解析のすべてにとって代わるのか? 狩野 裕 行動計量学 第29巻第 2号 (通巻57号)2002年,138~159
  5. 「討論:共分散構造分析」の特集にあたって 豊田秀樹  行動計量学 第29巻第 2号 (通巻57号)2002年,135~137

 

 

数量化I類:量的結果を説明する要因を同定するための多変量解析

アウトカムが連続変数で、原因となっている因子の候補がカテゴリー変数(有か無か)で複数ある場合にどの因子の寄与が一番大きいのかを調べたい、そんなときにつかう多変量解析の手法が、「数量化I類」と呼ばれるものです。

多変量解析と一言でいっても条件によって選ぶべき手法は異なりますので、混同しないことが大事。要因(説明変数、独立変数)と結果(従属変数、目的変数)が、連続的な数なのかそれともカテゴリー変数なのかに着目すると、選ぶべき多変量解析の手法が自ずと定まります。

多変量解析の手法の選択基準

独立変数:連続量、従属変数:連続量なら、重回帰分析

独立変数:連続量、従属変数:カテゴリーなら、判別分析

独立変数:カテゴリー、従属変数:連続量なら、数量化I類

独立変数:カテゴリー、従属変数:カテゴリーなら、数量化II類

となります。

  1. 第4章多変量解析4.外的基準が分類の場合の分析方法(https://www.bunkyo.ac.jp/~hotta/lab/courses/2003seminar/ch4-4_5_hotta.pdf)
  2. 統計分析法の分類(https://www.educa.nagoya-u.ac.jp/~ishii-h/materials/analysis_methods.pdf)

数量化1類では、独立変数がカテゴリーですがそれをダミー変数に置き換えてしまうので、そうなるとあとは重回帰分析と全く同じということになります。ダミー変数というのは例えばアンケート調査項目で、リンゴの嗜好に関して好き、普通、嫌いという選択肢があった場合に、回答者の回答で該当するものを1、他を0といった具合に、一つだけ1にして後は0にしてしまうものです。ここで、「好き」、「普通」、「嫌い」はカテゴリー変数と呼ばれます。「リンゴの嗜好」という項目のことは、アイテムと呼ばれます。

 

判別分析とロジスティック回帰分析との違い

連続量⇒カテゴリー という流れでいうと、判別分析とロジスティック回帰分析は似ていますが、何が違うのでしょうか。

  1. 判別分析とロジスティック回帰分析について CGL通信 vol39 「多変量解析の宝石学への応用」
  2. ロジスティック回帰 アイスタット ロジスティック回帰分析と似ている多変量解析に判別分析があります。‥ 両者の違いを調べてみます。

数量化I類を適用できる例数

  1. 多変量解析の手法別解説>数量化1類 アイスタット 個体数>カテゴリー総数-説明変数個数+1

数量化I類を適用する具体的な事例

多変量解析の手法別解説>数量化1類 アイスタット

目的変数:海外旅行回数

説明変数:性別(男性、女性)、年齢(若年、中年、高年)、血液型(A,B,O,AB) (カテゴリー総数=2+3+4=9、説明変数の個数=3)

目的変数:1日の新聞売り上げ部数

説明変数:曜日(月・火・水・木・金・土・日)、天候(晴・雨・小雨)、前日の野球の試合での巨人の勝敗(勝・負)、当日および前後の競馬の有無(有・無)

数量化1類 日経リサーチ

目的変数:立候補者の得票率

説明変数:政党(自民・民進・無所属)、職歴(元・現・新)、性別(男・女)

https://www.bunkyo.ac.jp/~hotta/lab/courses/2003seminar/ch4-3_huang.files/frame.htm

目的変数:英語の小テストの点

説明変数:英語が好きかどうかの質問

 

多変量解析の教科書

  1. 柳井 晴夫, 竹内 啓『射影行列・一般逆行列・特異値分解』(UP応用数学選書10 )新装版  2018/9/25  東京大学出版会 多変量解析の数学的な原理である線形代数を学ぶのに良さげな本。
  2. 足立 堅一『多変量解析入門』2005/12/20  ‎ 篠原出版新社 多変量解析の数学的な基盤である線形代数をわかりやすく解説した本。多変量解析への応用という強いモチベーションを持ちつつ、線形代数が学べるという点に特色があるのかも。
  3. 柳井晴夫『多変量データ解析法 理解と応用』(行動計量学シリーズ8)朝倉書店1994年12月5日定価3399円(本体3300円)図書館で借りて読みましたが、多変量解析の手法が網羅的に解説されています。数学的な根拠も説明されています。巻末の16ページに、本書で用いた線形代数の定理が簡潔にまとめられており、必要な数学を俯瞰できて便利。数量化I類の説明は103~105ページ
  4. 柳井 晴夫, 高根 芳雄『多変量解析法』 (現代人の統計) 新版 1985/6/1 朝倉書店
  5. 竹内啓, 柳井晴夫『多変量解析の基礎―線型空間への射影による方法』1972年 東洋経済新報社

新型コロナウイルス変異株オミクロンとCOVID-19パンデミック収束の期待

新型コロナウイルス蔓延によるCOVID-19により世界の生活が全て一変してしまいましたが、最近興ってきた変異株オミクロンは病原性がデルタ株などよりも弱くて感染力は強いので、デルタ株などを駆逐して、COVID-19パンデミックを収束に向かわせるのではないかという期待感があるようです。

WASHINGTON (TND) — The World Health Organization is predicting the omicron variant could change the course of the pandemic. WHO Director-General Tedros Adhanom Ghebreyesus says the exact impact is “still difficult to know,” as recent reports suggest the variant appears to be less mild. “This actually is very encouraging news. The World Health Organization so far says there has not been one reported death from omicron in the world,” said Dr. Jeffrey Singer to The National Desk’s Jan Jeffcoat. “Since this appears to be four times more contagious than a delta variant, hopefully, this will crowd out the delta variant eventually.” Singer says COVID-19 could become nothing more than a recurring endemic cold. (Omicron variant could change COVID-19 to just a ‘recurring endemic cold,’ says doctor by ELISSA SALAMY, The National DeskFriday, December 10th 2021 thenationaldesk.com)

 

  1. オミクロン株は「終わりの始まり」説 コロナとの戦い、もうすぐ終了の期待 2021年12月10日20時10分 J-CASTトレンド  米ブルームバーグも同日、「オミクロンは感染力がこれまでの変異株よりも強い可能性がある一方、初期の報告によれば致死性は低いともみられる。これは歴史的に観察されたウイルスの進化パターンに合致している」「オミクロン株は新型コロナパンデミックの終焉(しゅうえん)が近いことを示唆している可能性がある」という米国大手証券会社の専門家の見方を伝えた。

2本以上の直線で部分的に近似する方法 複数の回帰直線の境界の同定

実験して得れた2つのパラーメータの関係を、散布図をプロットしてなんでもかんでも直線で近似してしまう例を見かけます。どんなランダムなデータでも最小二乗法の計算は可能なので、なんらかの直線は引けてしまいますし、相関係数なども計算できてしまいます。しかし、パッと見が直線関係に見えないデータに対して、回帰直線を引くことになんの意味があるのでしょうか。実験者の頭の中に、これとこれとが相関していて欲しい、これがこれの原因であって欲しいという気持ちがあるために、無理やり直線を引いてしまっているのではないかと思われる場合があります。

どんな曲線(直線)でデータを表すのかは、研究者の恣意的な判断です。Uの字型のデータ分布に直線を当てはめるのはナンセンスでしょう。つまり、カーブフィッティングの際の近似式の選択は、実験者の仮説が入り込んでいるわけです。

一本の直線で表すのは無理そうでも、部分部分でみると直線性があることがあります。だったら、区間を分けて複数の直線を当てはめてみるのも一つの手です。もちろん、そうする動機、すなわち仮説、すなわちデータの分布に対する合理的な説明(仮説)が存在するという前提です。

この解析手法で用いられる関数の名前は英語では、piece-wise linear functionと呼ぶようです。piece-wise linear functionでグーグル検索すると多数のサイトがヒットしました。

複数の直線によるフィッティング

https://www.codeproject.com/Articles/5282014/Segmented-Linear-Regression

https://datacadamia.com/data_mining/linear_spline

http://yetanothermathprogrammingconsultant.blogspot.com/2018/03/piecewise-linear-regression.html

https://slidetodoc.com/chapter-9-special-topics-in-regression-optional-copyright/

複数の直線による回帰の方法(Python利用例)

区間に分けて直線回帰を行うことは英語だと、piecewise linear regressionというようです。ピースワイズ、つまり「部分ごとに」ということ。

  1. How to apply piecewise linear fit in Python? stack overflow

 

https://datascience.stackexchange.com/questions/8457/python-library-for-segmented-regression-a-k-a-piecewise-regression

https://www.researchgate.net/profile/Charles-Jekel-2/publication/331231072_pwlf_A_Python_Library_for_Fitting_1D_Continuous_Piecewise_Linear_Functions/links/5c9107f945851564fae8aa57/pwlf-A-Python-Library-for-Fitting-1D-Continuous-Piecewise-Linear-Functions.pdf?origin=publication_detail

https://medium.com/@kangeugine/optimize-piecewise-linear-function-f47b8610993d

https://stackoverflow.com/questions/35415372/piecewise-regresion-python

https://stackoverflow.com/questions/19955686/fit-a-curve-for-data-made-up-of-two-distinct-regimes

https://online.stat.psu.edu/stat501/lesson/8/8.8

https://stats.stackexchange.com/questions/14538/not-usual-piecewise-linear-regression

Rによる複数の直線の回帰

http://yetanothermathprogrammingconsultant.blogspot.com/2018/03/piecewise-linear-regression.html

複数の直線による回帰の方法(MATLABの利用例)

https://jp.mathworks.com/matlabcentral/answers/426524-how-to-curve-fit-a-data-with-multiple-linear-line-which-regression-method-suits

セグメントごとの直線回帰(GraphPadの利用例)

GraphPadでは2つの区間に分けて行う直線回帰はサポートしているようです。3つの区間の場合も手作業でできるようです。

https://www.graphpad.com/guides/prism/latest/curve-fitting/reg_segmental_linear_regression.htm

 

論文

 

https://www.ams.org/journals/mcom/1961-15-073/S0025-5718-1961-0119390-6/S0025-5718-1961-0119390-6.pdf

 

Muggeo, V. M. (2003). Estimating regression models with unknown breakpoints. Statistics in medicine, 22(19), 3055-3071.

https://www.hindawi.com/journals/cmmm/2019/9810675/

ADHDの脳波

 

  1. Abnormal modulation of theta oscillations in children with attention-deficit/hyperactivity disorder NeuroImage: Clinical Volume 27, 2020, 102314
  2. Guo et al., 2019 When attention was directed by social cues, the weakened alpha modulation in children with ADHD was mainly manifested in the left hemisphere and that was correlated with inattentive symptoms
  3. ter Huurne et al., 2017  ADHD adults have been reported to have an attenuated modulation in the mu rhythm while engaged in the task response
  4. Wang et al., 2016 In children with ADHD, the ERP components related to target selection and distractor suppression were inhibited in a visual search task
  5. Vollebregt et al., 2016 the posterior alpha modulation was attenuated in covert spatial attention in children with ADHD.
  6. Cross-Villasana et al., 2015 the event-related potential (ERP) component related to target selection was delayed in adults with ADHD
  7. ter Huurne et al., 2013 the posterior alpha modulation was attenuated in covert spatial attention in adults  with ADHD.

うつ病の脳波

うつ病の患者さんの脳波に関する研究論文のメモです。

2019年

  1. 精神疾患における脳波を用いた治療予測―うつ病を中心に― 西田圭一郎1) 吉村匡史1) 山根倫也1),2)加藤正樹1) 木下利彦 特集「臨床神経生理学が精神疾患の治療において果たす役割―update―」臨床神経生理学 47巻3号168 発行日: 2019/06/01 残念ながら現時点では定量脳波解析単体ではうつ病をはじめとした精神疾患の病態解明,また治療反応性に関しての臨床利用は依然難しい状況である。

2018年

  1. EEG Frequency Bands in Psychiatric Disorders: A Review of Resting State Studies  Front Hum Neurosci. 2018; 12: 521. Published online 2019 Jan 9. doi: 10.3389/fnhum.2018.00521 PMCID: PMC6333694 PMID: 30687041

2017年

  1. Changes of the brain’s bioelectrical activity in cognition, consciousness, and some mental disorders Med J Islam Repub Iran. 2017; 31: 53. Published online 2017 Sep 3. doi: 10.14196/mjiri.31.53 PMCID: PMC5804435 PMID: 29445682
  2. うつ病に対する簡易型脳波計測装置を用いた症状評価解析技術の開発 試験ID UMIN000027917  登録日時 2017年6月25日 臨床研究情報ポータルサイト 選択基準 / Include criteria 1)DSM-5の診断基準によりうつ病と診断された20歳以上の患者 主要評価項目 / Primary outcomes 特定周波数の特徴的脳波パターンの振幅変動

2015年

  1. Computer-Aided Diagnosis of Depression Using EEG Signals Acharya et al.,  Eur Neurol 2015;73:329-336 https://doi.org/10.1159/000381950

2011年

  1. Larger Error Signals in Major Depression are Associated with Better Avoidance Learning James F Cavanagh 1, Andrew J Bismark, Michael J Frank, John J B Allen Affiliations expand PMID: 22084638 PMCID: PMC3210982 DOI: 10.3389/fpsyg.2011.00331 Front Psychol . 2011 Nov 9;2:331. doi: 10.3389/fpsyg.2011.00331. eCollection 2011.

2008年

  1. Worry, Generalized Anxiety Disorder, and Emotion: Evidence from the EEG Gamma Band Biol Psychol. Author manuscript; available in PMC 2009 Oct 1. Published in final edited form as: Biol Psychol. 2008 Oct; 79(2): 165–170. Published online 2008 Apr 15. doi: 10.1016/j.biopsycho.2008.04.005 PMCID: PMC2597009 NIHMSID: NIHMS74702 PMID: 18499328

前帯状皮質anterior cingulate cortex (ACC)の生理機能、役割

 

  1. 前帯状皮質(脳科学辞典):大脳半球内側面の前方部に存在する、帯状溝周辺および帯状回の領域。ブロードマン24野、ブロードマン25野、およびブロードマン32野に相当。解剖学的あるいは機能の違いから、3つの領域に分類される。行動モニタリングおよび行動調節に関わる領域、社会的認知に関わる領域、および情動に関わる領域に大きく分かれる。
  2. 前帯状皮質(ぜんたいじょうひしつ、Anterior cingulate cortex ACC)(ウィキペディア):血圧心拍数の調節のような多くの自律的機能の他に、報酬予測意思決定共感情動といった認知機能に関わっているとされている。