確率変数X（あるいは標本値X）をaX+bに変換したときの平均値と標準偏差は、平均はbを足したものとなり、標準偏差はa倍になります。
この事実を利用すると、標本値から標本平均を引いた場合の平均は、平均―平均＝０となり、標本値から標本平均を引いたものを標準偏差で割ったものをあらたな変数と考えると、標準偏差に標準偏差分の１をかけることになるので（定数項は関与しない）、変数変換した場合の標準偏差が１になります。つまりZ＝（Xーμ）/σ という変数変換を行うとZは、標準偏差が１で、平均が０になるわけですね。
- 小島寛之『完全独習統計学入門』（ダイヤモンド社）４９ページ 加工されたデータの平均値と標準偏差
今まで、この変数変換の話がどの統計の教科書を読んでもしっくりこなかったのですが、小島寛之『完全独習統計学入門』の説明を読んで、この変数変換のご利益がなんて素晴らしい！と思いました。
この考え方がわかると、偏差値も簡単に理解できます。
偏差値とは
ある人のテストの点数Xとして、そのテストの平均点がμ、標準偏差がσだったとすると、
Z=(X-μ)/σ と変数変換したときに、Ｚの平均は０，標準偏差は１になります。ある人の点数がｘ点だったとすると、それを変数変換してｚ点とし、標準偏差を単位として表そうというわけです。
z=(x-μ)/σ
これをいわゆる偏差値にするには、これに１０をかけて（つまり標準偏差１ユニットを１０とする）、さらに５０をたします（つまり平均を５０とする）。
ｚ点を取った人の偏差値は、
偏差値=ｚｘ１０＋５０ ＝ ((x-μ)/σ) x 10 +50
です。この考えかたのミソは、点数を「標準偏差」を単位として表すというところです。テストの点数は２ＳＤでしたというのもなんなので、２ｘ１０＋５０＝７０ 偏差値は７０でしたというわけです。偏差値６０は、１ＳＤです。偏差値８０は３ＳＤですね。偏差値が４０～６０の間に全体の６８％が入る（正規分布に従うとして）というわけです。偏差値７０の人は２ＳＤのところにいるので、上位２．５％にはいっています。
- 小島寛之『完全独習統計学入門』（ダイヤモンド社）５３ページ
偏差値というのは、標準偏差を単位にしたスコアというのが核心ですね。今日からは、「あの人は偏差値が８０だって！スゲー！」というかわりに、「あの人は３ＳＤの成績だって！スゲー！」といったほうが、凄さが伝わるような気がします。