位置演算子 \( \hat{x} \) の固有方程式を解く場合、

\[
\hat{x} \psi(x) = x \psi(x)
\]

は次の形になります：

\[
x \psi(x) = x_0 \psi(x),
\]

ここで \( x_0 \) は固有値です。この方程式を考えるとき、重要なのは以下です：

### **1. 方程式の解釈**
– 上記の方程式が成り立つためには、\( \psi(x) \) がゼロでないところで \( x = x_0 \) が成り立つ必要があります。
– つまり、\( \psi(x) \) は \( x_0 \) の位置に集中して存在する波動関数を表します。

このような波動関数は **ディラックのデルタ関数** \( \delta(x – x_0) \) で表されます。

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### **2. 解：デルタ関数**
固有方程式の解は次のように与えられます：

\[
\psi(x) = \delta(x – x_0)
\]

ここで、デルタ関数 \( \delta(x – x_0) \) の性質は次の通りです：
– \( \psi(x) \) は \( x = x_0 \) の位置にのみ集中しています（位置の確定状態）。
– デルタ関数は次の条件を満たします：
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x – x_0) f(x) dx = f(x_0),
\]
任意の連続関数 \( f(x) \) に対して成り立ちます。

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### **3. 物理的意味**
この解 \( \psi(x) = \delta(x – x_0) \) は、粒子が正確に位置 \( x_0 \) に局在していることを意味します。
– ただし、この状態は理想的なもので、現実の波動関数はデルタ関数のように無限小の範囲に集中することはありません。
– また、位置 \( x \) が確定しているとき、運動量 \( p \) は完全に不確定になります（不確定性原理）。

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### **まとめ**
位置演算子 \( \hat{x} \) の固有方程式 \( \hat{x} \psi(x) = x_0 \psi(x) \) の解は、ディラックのデルタ関数 \( \psi(x) = \delta(x – x_0) \) です。この解は、粒子が位置 \( x_0 \) に局在している状態を表します。ただし、これは数学的に理想化されたケースであり、実際の波動関数はこうした理想化された状態にはなりません。

以下、ChatGPT 4oによる回答です。

はい、量子力学では、**演算子（物理量） × 波動関数 = 固有値 × 波動関数** という形が成り立つ場合がありますが、それは特定の条件下で成り立つものです。この関係は **固有値方程式** と呼ばれ、量子力学において重要な役割を果たします。

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### 詳しい説明：
1. **波動関数**：
– 量子力学では、粒子の状態は波動関数 \( \psi \)（サイ）で記述されます。
– 波動関数は粒子の位置や運動量などの確率分布を表すものです。

2. **演算子（オペレーター）**：
– 演算子は、物理量（位置、運動量、エネルギーなど）に対応する数学的操作を表します。
– 例：
– 位置演算子 \( \hat{x} \) は「位置」を表し、作用としては単純に \( x \) を掛ける。
– 運動量演算子 \( \hat{p} \) は \( -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \) という微分操作をする。

3. **固有値方程式の形**：
\[
\hat{A} \psi = a \psi
\]
– \( \hat{A} \): 演算子（例えば、ハミルトニアン \( \hat{H} \) や位置演算子 \( \hat{x} \)）。
– \( a \): 固有値（演算子に対応する物理量の測定値）。
– \( \psi \): 固有関数（波動関数の特定の状態）。

この方程式が成り立つ場合、波動関数 \( \psi \) は演算子 \( \hat{A} \) の**固有関数**であり、\( a \) がその固有値です。

4. **具体例**:
– **位置演算子 \( \hat{x} \)**:
\( \hat{x} \psi(x) = x \psi(x) \)
位置演算子の場合、固有関数は「位置に局在する波動関数（デルタ関数）」です。

– **運動量演算子 \( \hat{p} \)**:
\( \hat{p} \psi(x) = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \psi(x) \)
平面波 \( \psi(x) = e^{ikx} \) は運動量演算子の固有関数で、対応する固有値は \( p = \hbar k \)。

– **ハミルトニアン \( \hat{H} \)**:
ハミルトニアンがエネルギーの演算子の場合、波動関数 \( \psi \) は特定のエネルギー状態の固有関数であり、固有値はそのエネルギー値を表します。

5. **物理的意味**：
– 波動関数が演算子の固有関数である場合、その状態では物理量（固有値）が明確に定義されています。
– 測定結果は常にその固有値となります。

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### まとめ：
量子力学の中で、「**演算子 × 波動関数 = 固有値 × 波動関数**」の形は、特定の物理量（位置、運動量、エネルギーなど）が測定によって決定される状態を記述するときに成り立ちます。しかし、波動関数 \( \psi \) が必ずしもすべての演算子の固有関数であるわけではありません。その場合、演算子が波動関数に作用すると、固有値ではなく別の波動関数を生成します。